Борис Михайлович Гагаев родился 20 июля 1897 года в Казани в семье служащего. В годы обучения в гимназии увлёкся математикой, а после окончания гимназии в 1916 году поступил на математическое отделение физико-математического факультета Казанского университета. Под руководством профессора Н. Н. Парфентьева Б. М. Гагаев занимался теорией функций действительного переменного, расходящимися рядами, дифференциальными и интегральными уравнениями. С 1923 года до конца жизни Б. М. Гагаев преподавал в Казанском университете. После окончания университета в 1923 году он был оставлен научным сотрудником при кафедре математики. После учреждения в Казанском университете аспирантуры Б. М. Гагаев стал аспирантом Н. Н. Парфентьева. Окончив аспирантуру в 1929 году, Б. М. Гагаев стал доцентом кафедры математики, а с 1934 года заведовал созданной им кафедрой математического анализа. В 1936 году он был утверждён в учёной степени доктора физико-математических наук без защиты диссертации. В 1934—1941 и 1944—1947 годах он заведовал также сектором анализа Научно-исследовательского института математики и механики имени Н. Г. Чеботарева при КГУ. В 1945—1947 годах Б. М. Гагаев — декан физико-математического факультета Казанского университета. Одновременно с работой в Казанском университете Б. М. Гагаев с 1927 года преподавал в Казанском педагогическом институте, а впоследствии заведовал там кафедрой высшей алгебры и элементарной геометрии. В годы Великой Отечественной войны он работал с 1943 по 1945 гг. старшим инженером аэродинамической лаборатории Казанского авиационного института.
Основные труды Бориса Михайловича – в области математического анализа, теории ортогональных систем функций и теории интегральных и интегро-дифференциальных уравнений, полигармонических функций. Наиболее яркий его научный результат состоит в решении проблемы Н.Н.Лузина. Б. М. Гагаев доказал, что тригонометрическая система функций – единственная система ортогональных функций, дифференцирование и интегрирование которой приводят (с точностью до постоянных множителей) к этой же системе функций.