Родился 12 (24) мая 1864 года в Тирасполе в еврейской купеческой семье. По окончании курса гимназии (по разным источникам, в Кишинёве или Одессе) в 1883 году поступил на физико-математический факультет Новороссийского университета в Одессе, который окончил в 1887 году с золотой медалью. Был оставлен в университете для подготовки к магистерскому экзамену по механике, который успешно сдал в сентябре 1890 года. После двух пробных прочитанных лекций был зачислен приват-доцентом на кафедру механики. С января 1891 года преподавал курс теории одноимённых фигур. В октябре 1891 года защитил диссертацию на степень магистра прикладной математики «Механика подобно-изменяемого тела. Статика».
В начале марта 1892 года был назначен штатным приват-доцентом на кафедру механики Казанского университета. В ноябре 1894 года защитил в Московском университете диссертацию на степень доктора прикладной математики «Теория движения подобно-изменяемого тела». 14 сентября 1895 года был назначен экстраординарным, а 8 октября 1899 года ординарным профессором на кафедре теоретической механики Казанского университета.
В 1904 году Зейлигера избрали деканом физико-математического факультета Казанского университета, где в 1910 году организовал при университете первый воздухоплавательный кружок. В этой должности он находился до 1914 года, когда на очередных выборах декана у Зейлигера из-за его общественно-политических взглядов произошёл конфликт с министром народного просвещения Львом Кассо. Его итогом стала отставка Зейлигера, после чего он переехал в Санкт-Петербург, где с 1914 по 1917 год преподавал в Петроградском университете (с началом Первой мировой войны Санкт-Петербург переименовали в Петроград) и Петроградском политехническом институте, а также являлся профессором математики и механики Психоневрологического института.
В 1917 году он вернулся в Казанский университет профессором на кафедру чистой математики. В 1923 году он перешёл на кафедру механики, на которой оставался до 1929 года. С 1919 по 1926 годы Зейлигер также занимал должность ректора Казанского политехнического института. В 1927 году ему было присвоено звание Заслуженного деятеля науки РСФСР. Он один из первых в бывшем СССР носителей этого почетного звания.
В 1929 году из-за болезни супруги переехал в Донецк (тогда Сталино), где он до 1932 года являлся профессором Донецкого горного института. В 1932 году Зейлигер переехал в Новочеркасск, где до 1934 года работал на кафедрах механики Авиационного и Строительного институтов. С 1934 года также преподавал и в Северо-Кавказском индустриальном институте. В последний год жизни был заведующим кафедры геометрии НИИ математики и физики при Ростовском университете. Авторству Дмитрия Зейлигера принадлежит ряд работ по теоретической механике, комплексной геометрии линейчатого пространства, а также дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей и конгруэнций. Посвятив много времени изучению векторной алгебры и теории пар и винтов, он стал одним из первых, кто рассмотрел понятие связанных векторов и связанных винтов, разработав соответствующую теорию. Взяв за основу исследования немецкого математика и механика Августа Мёбиуса, Зейлигер изложил статику и кинематику подобно-изменяемой системы. Его исследования, которые затрагивали малоизученную, но перспективную область математической науки, были важны для развития российской механики.