Д.А. Гольдгаммер родился в семье военного врача. До 1877 г. учился в 1-й Варшавской гимназии. После переезда в Москву окончил в 1878 г. 3-ю московскую гимназию. Затем учился на физико-математическом факультете Московского университета и являлся учеником А.Г. Столетова. В 1882 г. окончил университет. В 1890 г. переехал в Казань и занял должность приват-доцента в Казанском университете. Поскольку должность заведующего физическим кабинетом была занята Н.П. Слугиновым, Гольдгаммер читал курс метеорологии и заведовал магнитометеорологической лабораторией (1893-1898). Он много времени посвящал метеорологическим и геомагнитным исследованиям, возглавлял в 1884-1897 гг. магнитно-метеорологическую обсерваторию, был инициатором создания широкой сети метеорологических станций в Казанской губернии и на Востоке России, объединявший 96 метеостанций. С 1895 г. при его участии стали ежегодно выходить «Труды Восточной метеорологической сети», а с 1897 г. – «Ежемесячный бюллетень сети Востока России». В 1896 г. он вместе с Д.И. Дубяго участвовал в экспедиции для наблюдения солнечного затмения.
В 1897 г. после смерти Н.П. Слугинова, защитив к тому времени докторскую диссертацию по теме «Электромагнитная теория света» (1893), Гольдгаммер занял должность заведующего физическим кабинетом. С 1913 по 1919 гг. – декан физико-математического факультета. На этой должности пытался создать в Казани полноценный физический институт, однако оба его практически одобренные проекта 1904 и 1914 гг. были свёрнуты из-за войн.
В Казани Гольдгаммер активно включился в общественно-политическую деятельность. В 1905 г. он сотрудничал с общественно-литературной социал-демократической газетой «Новая жизнь». Это было замечено властями. В 1910 г. начальник Казанского жандармского управления дал ему такую характеристику: «Профессор Дмитрий Александрович Гольдгаммер (физико-математический факультет), в период освободительного движения заявил себя как сочувствующий партии социалистов-революционеров; в настоящее время левый к[онституционный]-д[емократ]. Читал свои лекции в 1907 г. при закрытых дверях, он зачастую переходил с научных на политические темы. В последнее время его лекции носят „либеральный характер“…».
С 1917 по 1918 г. Гольдгаммер исполнял обязанности ректора Казанского университета. В 1918 г. после занятия Казани Красной армией профессор Д.А. Гольдгаммер с 11 сентября до 13 октября был в тюрьме. После этого он был вынужден сложить свои полномочия, в том числе и по состоянию здоровья.
Д.А. Гольдгаммер скончался 15 декабря 1922 г. в расцвете своей плодотворной научной, педагогической и популяризаторской деятельности.